4.2 Modelli stazionari lineari per Time Series in cui la variabile casuale è chiamato innovazione perché rappresenta la parte della variabile osservato che è imprevedibile dati i valori passati. Il modello generale (4.4) presuppone che è l'uscita di un filtro lineare che trasforma le innovazioni ultime, cioè, è un processo lineare. Questa ipotesi di linearità si basa sulla decomposizione teorema Wolds (Wold 1938) che dice che qualsiasi processo covarianza stazionario discreto può essere espresso come somma di due processi non correlati, dove è puramente deterministico è un processo puramente indeterministica che può essere scritta come lineare somma del processo di innovazione: dove è una sequenza di variabili casuali serialmente non correlati con media nulla e varianza comune. Condizione necessaria per la stazionarietà. La formulazione (4.4) è una riparametrizzazione finito di rappresentazione infinita (4.5) - (4.6) con la costante. Di solito è scritto in termini dell'operatore lag definita da, che dà un'espressione più breve: dove i polinomi operatore lag e sono chiamati rispettivamente polinomiale e il polinomio,. Al fine di evitare la ridondanza parametro, assumiamo che non ci sono fattori comuni tra il ei componenti. Successivamente, studieremo la trama di alcune serie storiche generate da modelli fissi con l'obiettivo di determinare i principali modelli della loro evoluzione temporale. Figura 4.2 comprende due serie generato dai seguenti processi stazionari calcolate mediante l'quantlet genarma: Figura 4.2: Serie temporale generati dai modelli Come previsto, entrambe le serie mossa volta un livello costante senza cambiamenti nella varianza dovute alla struttura stazionaria. Inoltre, questo livello è vicino alla media teorica del processo, e la distanza di ciascun punto di questo valore è molto raramente fuori dei limiti. Inoltre, l'evoluzione della serie mostra partenze locali dalla media del processo, che è conosciuto come il comportamento reversione medio che caratterizza la serie temporale stazionaria. Studiamo con qualche dettaglio le proprietà dei diversi processi, in particolare, la funzione autocovarianza che cattura le proprietà dinamiche di un processo stocastico stazionario. Questa funzione dipende dalle unità di misura, in modo usuale misura del grado di linearità tra variabili è il coefficiente di correlazione. Nel caso di processi stazionari, il coefficiente di autocorrelazione al ritardo, indicato con, è definita come la correlazione tra e: Pertanto, la funzione di autocorrelazione (ACF) è la funzione autocovarianza standardizzate dalla varianza. Le proprietà della ACF sono: Data la proprietà di simmetria (4.10), l'ACF è di solito rappresentato per mezzo di un grafico a barre ai ritardi non negativi che si chiama la semplice correlogramma. Un altro strumento utile per descrivere le dinamiche di un processo stazionario è la funzione di autocorrelazione parziale (PACF). Il coefficiente di autocorrelazione parziale lag misura l'associazione lineare tra e rettificato degli effetti dei valori intermedi. Pertanto, è solo il coefficiente nel modello di regressione lineare: Le proprietà del PACF sono equivalenti a quelli della ACF (4.8) - (4.10) ed è facile dimostrare che (Box e Jenkins 1976). Come l'ACF, la funzione di autocorrelazione parziale non dipende dalle unità di misura ed è rappresentata per mezzo di un grafico a barre i ritardi non negativi che si chiama correlogramma parziale. Le proprietà dinamiche di ogni modello stazionario determinano una particolare forma dei correlogrammi. Inoltre, si può dimostrare che, per qualsiasi processo stazionario, entrambe le funzioni, ACF e PACF, approccio a zero quando il ritardo tende all'infinito. I modelli non sono sempre processi stazionari, per cui è necessario prima di determinare le condizioni di stazionarietà. Ci sono sottoclassi di modelli che hanno proprietà particolari così li studieremo separatamente. Così, quando e, è un processo rumore bianco. quando, è una pura movimento processo media dell'ordine. , E quando si tratta di un processo autoregressivo puro dell'ordine. . 4.2.1 White Noise Process Il modello più semplice è un processo di rumore bianco, dove si trova una sequenza di zero non correlati significa variabili con la varianza costante. Si è indicato con. Questo processo è stazionario se la varianza è finita,, dal momento che: condizioni verifica (4.1) - (4.3). Inoltre, non è correlata con il tempo, quindi la sua funzione di autocovarianza è: figura 4.7 mostra due serie storiche simulate generate dai processi con media zero e parametri e -0.7, rispettivamente. Il parametro autoregressivo misura la persistenza di eventi passati nei valori correnti. Ad esempio, se positivo (o negativo) Shock influenza positivamente (o negativamente) per un periodo di tempo che è più lungo più grande è il valore di. Quando la serie si muove più o meno intorno alla media per l'alternarsi nella direzione dell'effetto di, cioè, uno shock che influenza positivamente nel momento, ha effetti negativi sulla, positivi. Il processo è sempre invertibile ed è stazionaria quando il parametro del modello è vincolato a giacere nella regione. Per dimostrare la condizione stazionaria, prima scriviamo il sotto forma media mobile per sostituzione ricorsiva di a (4.14): Figura 4.8: correlogrammi popolazione per i processi che è, è una somma ponderata delle innovazioni del passato. I pesi dipendono dal valore del parametro: quando, (o), l'influenza di un dato aumenta innovazione (o diminuisce) nel tempo. Facendo affidamento a (4.15) per calcolare la media del processo, otteniamo: Dato che, il risultato è una somma di infiniti termini che converge per ogni valore di solo se, in questo caso. Un problema simile appare quando si calcola il secondo momento. La prova può essere semplificata assumendo che, cioè. Poi, varianza è: in questo caso, la varianza va all'infinito eccezione, nel qual caso. È facile verificare che sia la media e la varianza esplodono quando quella presa condizioni doesnt. La funzione autocovarianza di un processo stazionario è Di conseguenza, la funzione di autocorrelazione per il modello fisso è: Cioè, il correlogramma mostra un decadimento esponenziale con valori positivi sempre se è positivo e con oscillazioni negativo-positivo, se è negativo (vedi figura 4.8). Inoltre, il tasso di decadimento diminuisce all'aumentare, quindi maggiore è il valore della forte correlazione dinamica del processo. Infine, vi è un cutoff nella funzione di autocorrelazione parziale al primo ritardo. Figura 4.9: correlogrammi popolazione per i processi si può dimostrare che il processo generale (Box e Jenkins 1976): è fermo solo se le radici della equazione caratteristica della menzogna polinomiale di fuori del cerchio unitario. La media di un modello stazionario è. È sempre invertibile per valori dei parametri La sua posizione ACF va a zero esponenzialmente quando le radici di siano reali o con fluttuazioni onda sinusoidale coseno quando sono complex. Its PACF ha un cutoff al ritardo, cioè. Alcuni esempi di correlogrammi per i modelli più complessi, come la, può essere visto in figura 4.9. Essi sono molto simili ai modelli quando i processi hanno radici reali, ma richiedono una forma molto diversa quando le radici sono complesse (vedere la prima coppia di grafici di figura 4.9). 4.2.4 Autoregressive media mobile Modello Il generale (finito-ordine) modello autoregressivo a media mobile degli ordini,, è: 2.1 modello a media mobile (MA) modelli modelli di serie tempo noti come modelli ARIMA possono includere termini autoregressivi eo movimento termini medi. In settimana 1, abbiamo imparato un termine autoregressivo in un modello di serie temporale per la variabile x t è un valore ritardato di x t. Per esempio, un ritardo 1 termine autoregressivo è x t-1 (moltiplicato per un coefficiente). Questa lezione definisce lo spostamento termini medi. Un termine media mobile in un modello di serie storica è un errore di passato (moltiplicata per un coefficiente). Sia (wt Overset N (0, sigma2w)), il che significa che la w t sono identicamente, indipendentemente distribuite, ciascuna con una distribuzione normale con media 0 e la stessa varianza. Il modello a media mobile 1 ° ordine, indicato con MA (1) è (xt mu peso theta1w) L'ordine di 2 ° modello a media mobile, indicato con MA (2) è (mu XT peso theta1w theta2w) La q ° ordine modello a media mobile , indicato con MA (q) è (MU XT WT theta1w theta2w punti thetaqw) Nota. Molti libri di testo e programmi software definiscono il modello con segni negativi prima dei termini. Ciò non modificare le proprietà teoriche generali del modello, anche se non capovolgere i segni algebrici di valori dei coefficienti stimati ei termini (unsquared) nelle formule per ACFS e varianze. È necessario controllare il software per verificare se vi siano segni negativi o positivi sono stati utilizzati al fine di scrivere correttamente il modello stimato. R utilizza segnali positivi nel suo modello di base, come facciamo qui. Proprietà teoriche di una serie storica con un MA (1) Modello nota che l'unico valore diverso da zero nella ACF teorico è di lag 1. Tutti gli altri autocorrelazioni sono 0. Quindi un ACF campione con un autocorrelazione significativa solo in ritardo 1 è un indicatore di un possibile MA (1) modello. Per gli studenti interessati, prove di queste proprietà sono in appendice a questo volantino. Esempio 1 Supponiamo che un MA (1) modello è x t 10 w t 0,7 w t-1. dove (WT overset N (0,1)). Così il coefficiente 1 0.7. L'ACF teorica è data da una trama di questa ACF segue. La trama appena mostrato è l'ACF teorico per un MA (1) con 1 0.7. In pratica, un campione abituato di solito forniscono un modello così chiara. Utilizzando R, abbiamo simulato n 100 valori di esempio utilizzando il modello x t 10 w t 0,7 w t-1 dove w t IID N (0,1). Per questa simulazione, un appezzamento serie storica dei dati di esempio segue. Non possiamo dire molto da questa trama. L'ACF campione per i dati simulati segue. Vediamo un picco in ritardo 1 seguito da valori generalmente non significativi per ritardi passato 1. Si noti che il campione ACF non corrisponde al modello teorico della MA sottostante (1), vale a dire che tutte le autocorrelazioni per i ritardi del passato 1 saranno 0 . un campione diverso avrebbe un po 'diverso ACF esempio riportato di seguito, ma probabilmente hanno le stesse caratteristiche generali. Theroretical proprietà di una serie storica con un modello MA (2) Per la (2) il modello MA, proprietà teoriche sono i seguenti: Si noti che gli unici valori diversi da zero nel ACF teorica sono per ritardi 1 e 2. Autocorrelazioni per ritardi superiori sono 0 . Così, un ACF campione con autocorrelazioni significativi a ritardi 1 e 2, ma autocorrelazioni non significative per ritardi più elevato indica una possibile mA (2) modello. iid N (0,1). I coefficienti sono 1 0,5 e 2 0.3. Poiché si tratta di un MA (2), l'ACF teorica avrà valori diversi da zero solo in caso di ritardi 1 e 2. I valori delle due autocorrelazioni diversi da zero sono un grafico della ACF teorica segue. è come quasi sempre accade, i dati di esempio solito si comportano abbastanza così perfettamente come teoria. Abbiamo simulato n 150 valori di esempio per il modello x t 10 w t 0,5 w t-1 .3 w t-2. dove w t iid N (0,1). La trama serie storica dei dati segue. Come con la trama serie per la MA (1) i dati di esempio, non puoi dire molto da esso. L'ACF campione per i dati simulati segue. Il modello è tipico per le situazioni in cui un modello MA (2) può essere utile. Ci sono due picchi statisticamente significative a ritardi 1 e 2 seguiti da valori non significativi per altri ritardi. Si noti che a causa di errore di campionamento, l'ACF campione non corrisponde al modello teorico esattamente. ACF per General MA (q) Models Una proprietà di modelli MA (q), in generale, è che ci sono autocorrelazioni diversi da zero per i primi ritardi Q e autocorrelazioni 0 per tutti i GAL gt q. Non unicità di collegamento tra i valori di 1 e (rho1) in MA (1) Modello. Nella (1) Modello MA, per qualsiasi valore di 1. il reciproco 1 1 dà lo stesso valore per esempio, utilizzare 0,5 per 1. e quindi utilizzare 1 (0,5) 2 per 1. Youll ottenere (rho1) 0,4 in entrambi i casi. Per soddisfare una limitazione teorica chiamato invertibilità. abbiamo limitare MA (1) modelli di avere valori con valore assoluto inferiore 1. Nell'esempio appena dato, 1 0.5 sarà un valore di parametro ammissibile, che non sarà 1 10.5 2. Invertibilità dei modelli MA Un modello MA si dice che sia invertibile se è algebricamente equivalente a un modello AR ordine infinito convergenti. Facendo convergere, si intende che i coefficienti AR diminuiscono a 0 mentre ci muoviamo indietro nel tempo. Invertibilità è una limitazione programmata nel software di serie storiche utilizzate per stimare i coefficienti dei modelli con i termini MA. La sua non è una cosa che controlliamo per l'analisi dei dati. Ulteriori informazioni sul restrizione invertibilit'a per MA (1) modelli è riportato in appendice. Avanzate teoria Note. Per un modello MA (q) con un determinato ACF, vi è un solo modello invertibile. La condizione necessaria per invertibilità è che i coefficienti hanno valori tali che l'equazione 1- 1 y-. - Q q y 0 ha soluzioni per y che non rientrano nel cerchio unitario. R Codice per gli esempi in Esempio 1, abbiamo tracciato l'ACF teorica del modello x t 10 w t. 7W t-1. e poi simulato n 150 valori di questo modello e tracciato le serie temporali del campione e l'ACF campione per i dati simulati. I comandi R utilizzati per tracciare la ACF teoriche sono state: acfma1ARMAacf (Mac (0,7), lag. max10) 10 ritardi di ACF per MA (1) con theta1 0,7 lags0: 10 crea una variabile denominata ritardi che va da 0 a 10. trama (ritardi, acfma1, xlimc (1,10), ylabr, typeh, principale ACF per MA (1) con theta1 0,7) abline (H0) aggiunge un asse orizzontale per la trama il primo comando determina l'ACF e lo memorizza in un oggetto chiamato acfma1 (la nostra scelta del nome). Il comando plot (il 3 ° comando) trame in ritardo rispetto ai valori ACF per ritardi da 1 a 10. Il parametro ylab Contrassegni l'asse Y e il parametro principale mette un titolo sul terreno. Per visualizzare i valori numerici della ACF è sufficiente utilizzare il comando acfma1. La simulazione e le trame sono state fatte con i seguenti comandi. xcarima. sim (N150, elenco (Mac (0,7))) Simula n 150 valori da MA (1) xxc10 aggiunge 10 per rendere medi default 10. simulazione a significare 0. plot (x, TypeB, mainSimulated MA (1) i dati) ACF (x, xlimc (1,10), mainACF per dati campione simulati) nell'Esempio 2, abbiamo tracciato l'ACF teorica del modello xt 10 wt .5 w t-1 .3 w t-2. e poi simulato n 150 valori di questo modello e tracciato le serie temporali del campione e l'ACF campione per i dati simulati. I comandi R utilizzati sono stati acfma2ARMAacf (Mac (0.5,0.3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 plot (ritardi, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, principale ACF per MA (2) con theta1 0.5, theta20.3) abline (H0) xcarima. sim (N150, l'elenco (Mac (0,5, 0,3))) xxc10 plot (x, TypeB, principale simulato MA (2) Serie) ACF (x, xlimc (1,10), mainACF per simulato MA (2) dati) Appendice: prova di proprietà di MA (1) per gli studenti interessati, qui ci sono prove per le proprietà teoriche del (1) modello MA. Varianza: (testo (xt) testo (mu peso theta1 w) 0 di testo (in peso) di testo (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) Quando h 1, l'espressione precedente 1 w 2. Per ogni h 2, l'espressione precedente 0 . il motivo è che, per definizione di indipendenza della wt. E (w k w j) 0 per ogni k j. Inoltre, perché la w t hanno media 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Per una serie temporale, applicare questo risultato per ottenere l'ACF cui sopra. Un modello MA invertibile è uno che può essere scritta come modello AR ordine infinito che converge in modo che i coefficienti AR convergono a 0, mentre ci muoviamo infinitamente indietro nel tempo. Bene dimostrare invertibilità per la (1) Modello MA. Abbiamo poi sostituto relazione (2) per w t-1 nell'equazione (1) (3) (ZT WT theta1 (z - theta1w) peso theta1z - theta2w) Al tempo t-2. l'equazione (2) diventa Abbiamo poi rapporto sostituto (4) per w t-2 nell'equazione (3) (ZT peso theta1 z - theta21w WT theta1z - theta21 (z - theta1w) WT theta1z - theta12z theta31w) Se dovessimo continuare a ( infinitamente), otterremmo il modello AR ordine infinito (ZT peso theta1 z - theta21z theta31z - theta41z punti) Nota però, che se 1 1, i coefficienti moltiplicando i ritardi di z aumenterà (infinitamente) in termini di dimensioni, come ci muoviamo nel tempo. Per evitare questo, abbiamo bisogno di 1 LT1. Questa è la condizione per un MA (1) Modello invertibile. Infinite Modello di ordine MA In settimana 3, e vedere che un AR (1) modello può essere convertito in un modello di ordine MA infinite: (xt - mu peso phi1w phi21w punti phik1 w punti riassumono phij1w) Questa somma dei termini di rumore bianco del passato è conosciuto come la rappresentazione causale di un AR (1). In altre parole, x t è un tipo speciale di MA con un numero infinito di termini che vanno indietro nel tempo. Questo è chiamato un ordine infinito MA o MA (). Un ordine MA finito è un AR ordine infinito ed ogni AR ordine finito è un ordine MA infinita. Ricordiamo a settimana 1, abbiamo notato che un requisito per un AR fisso (1) è che 1 LT1. Consente di calcolare il Var (x t) utilizzando la rappresentazione causale. Questo ultimo passo utilizza un fatto di base sulla serie geometrica che richiede (phi1lt1) altrimenti i diverge serie. NavigationConsider il processo infinito ordine MA definito da ytepsilonta (epsilon epsilon.), Dove a è una costante ei epsilonts sono i. i.d. N (0, v) variabile casuale. Qual è il modo migliore per dimostrare che YT è non stazionaria so che ho bisogno di guardare alle radici caratteristiche delle caratteristiche polinomiale e poi giudicare se essi sono al di fuori del cerchio unitario, ma qual è il modo migliore per affrontare questo problema dovrei provare a riscrivere il processo di ordine mA infinito come un processo d'ordine AR finita o è più facile lavorare il processo mA chiesto 19 ottobre 13 ad 21: 11STAT 497 Dispense 3 pROCESSI Time Series FISSI (processi ARMA o processi BOX-Jenkins) 1 . Presentazione su tema: STAT 497 Dispense 3 PROCESSI Time Series FISSI (processi ARMA o processi BOX-Jenkins) 1. Presentazione di trascrizione: 1 STAT 497 dispense 3 PROCESSI Time Series FISSI (processi ARMA o processi BOX-Jenkins) 1 3 AR (p) pROCESSO Poiché il processo è sempre invertibile. Per essere stazionario, le radici di p (B) 0 deve trovarsi al di fuori del cerchio unitario. Il processo AR è utile per descrivere situazioni in cui il valore attuale di una serie temporale dipende suoi valori precedenti più uno shock casuale. 3 4 AR (1) Processo che t WN (0,) sempre invertibile. Per essere stazionario, le radici di (B) 1 B 0 deve trovarsi fuori dal cerchio unitario. 4 5 AR (1) processo o utilizzando l'equazione caratteristica, le radici di m 0 deve trovarsi all'interno del cerchio unitario. B 1 B 6 AR (1) PROCESSO Questo processo a volte chiamato come il processo Markov poiché la distribuzione di Y t dato Y t 1, Y 2 t, è esattamente lo stesso come la distribuzione di Y t dato Y t 1. 6 15 IL secondo ordine autoregressivo PROCESSO AR (2) PROCESSO: Si consideri la serie soddisfacendo 15 dove a WN (0,). 16 AR (2) PROCESSO sempre invertibile. Già nel invertito modulo. Per essere stazionario, le radici di devono trovarsi al di fuori del cerchio unitario. O le radici dell'equazione caratteristica devono trovarsi all'interno del cerchio unitario. 16 18 AR (2) PROCESSO Considerando radici reali e complesse, abbiamo le seguenti condizioni stazionarie per AR processo (2) (vedi pagina 84 per la prova) 18 19 AR (2) PROCESSO LA FUNZIONE autocovarianza: stazionarietà assumendo e che a è indipendente da Y tk, abbiamo 19 24 AR (2) PROCESSO ACF: e 'noto come Yule-Walker Equazioni 24 ACF mostra un decadimento esponenziale o un comportamento sinusoidale. 27 Il p - esimo ORDINE autoregressivo PROCESSO: AR (p) PROCESSO Si consideri il processo di soddisfare 27 in cui una t WN (0,). a condizione che le radici di tutti si trovano al di fuori del cerchio unitario 28 AR (p) PROCESSO ACF: Yule-Walker Equazioni ACF: code di come una miscela di decadimento esponenziale o un'onda sinusoidale smorzata (se alcune radici sono complesse). PACF: interrompe dopo lag p. 28 29 MOVIMENTO PROCESSI MEDI Supponiamo si vince 1 TL se una moneta mostra una testa e perdere 1 TL se mostra la coda. Indichiamo il risultato sul lancio t da una t. La media vincendo l'ultimo 4 tossesaverage pay-off sugli ultimi lanci: 29 SPOSTANO PROCESSO MEDIA 30 errori sono la media di questi periodi errore casuale e gli ultimi periodi di errore casuale. Nessuna memoria dei livelli del passato. L'impatto di shock alla serie prende esattamente 1 periodo a svanire per MA (1) processo. In MA (2) di processo, lo shock prende 2-periodi e poi svaniscono. In MA (1) processo, la correlazione sarebbe durata un solo periodo. 30 32 MOVIMENTO PROCESSI media perché, processi MA sono fermi. Invertibile se le radici di q (B) 0 tutti si trovano al di fuori del cerchio unitario. È un processo utile per descrivere eventi che producono un effetto immediato che dura per un breve periodo di tempo. 32 33 IL PRIMO ORDINE IN MOVIMENTO PROCESSMA MEDIA (1) PROCESSO Si consideri il processo di soddisfare 33 37 MA (1) PROCESSO caratteristica di base di MA (1) Processo: ACF taglia fuori dopo lag 1. PACF code di esponenzialmente a seconda del segno di. Sempre fermo. Invertibile se la radice di 1 B0 si trovano al di fuori del cerchio unitario o la radice della caratteristica dell'equazione m 0 si trovano all'interno del cerchio unitario. Invertibilità CONDIZIONE: 40 Il secondo ordine MOVING PROCESSMA MEDIA (2) PROCESSO considerare il processo media mobile di ordine 2: 40 42 MA (2) PROCESSO ACF ACF interrompe dopo lag 2. PACF code di modo esponenziale o di un smorzate onde sinusoidali a seconda di una segno e la grandezza di parametri. 42 43 MA (2) PROCESSO Sempre stazionaria. Invertibile se le radici di tutto esulano dal cerchio unitario. O se le radici di tutto si trovano all'interno del cerchio unitario. 43 48 IL MOVIMENTO Autoregressive PROCESSESARMA MEDIA (p, q) PROCESSI Se assumiamo che la serie è in parte e in parte autoregressivo media mobile, si ottiene un processo ARMA misto. 48 49 ARMA (p, q) i procedimenti di processo sia invertibile, le radici della trovano al di fuori del cerchio unitario. Per il processo sia stazionario, le radici si trovano fuori del cerchio unitario. Supponendo che e condividere radici comuni, Pure AR Rappresentazione: Rappresentazione MA Pure: 49 50 ARMA (p, q) PROCESSI processo funzione autocovarianza ACF Come AR (p), si code di ritardo dopo q. PACF: Come MA (q), ma code di ritardo dopo p. 50
No comments:
Post a Comment